Nicolas Prost, der Sohn des viermaligen Weltmeisters Alain Prost, begann seine Karriere erst 2003 im Alter von 21 Jahren in der französischen Formel Renault Campus. Bis dahin war er im Golfsport aktiv. 2004 startete er in der französischen Formel Renault und fuhr außerdem bei zwei Rennen in der deutschen Formel Renault. Darüber hinaus nahm er an vier Rennen der französischen GT-Meisterschaft teil.
2005 fuhr Prost weiter in der französischen Formel Renault und außerdem bei vier Rennen im Formel Renault 2.0 Eurocup. Weiterhin startete er bei vier Rennen in der französischen GT-Meisterschaft und einem der Formel Renault 3.5. 2006 fuhr Prost für Racing Engineering in der spanischen Formel-3-Meisterschaft. Mit einem Sieg und fünf weiteren Podestplatzierungen wurde er am Ende des Jahres Gesamtvierter.
2007 wechselte er zu Campos F3 Racing, blieb aber in der spanischen Formel-3-Meisterschaft und verbesserte sich auf Gesamtrang 3. Darüber wurde er mit ORECA beim 24-Stunden-Rennen von Le Mans Zehnter. 2008 wechselte Prost in die Euroseries 3000, 2008/2009 startete für das französische Team in der A1GP.
2009 wechselte Prost in die Le Mans Serie und nahm auch an den 24 Stunden von Le Mans teil. Im Winter 2009/2010 fuhr er mit einem Elektroauto Eisrennen in der Trophée Andros und gewann die Andros-Electrique-Meisterschaft.
2010 blieb Prost in der Le Mans Series und startete mit seinem Teamkollegen Neel Jani und Marco Andretti auch wieder bei den 24 Stunden von Le Mans, kam allerdings nicht ins Ziel. Zusätzlich startete er bei vier Rennen in der FIA-GT-Weltmeisterschaft. Im Winter 2010/2011 gewann Prost erneut die Andros-Electrique-Meisterschaft.
2011 wurden Prost und Jani Dritte in der Le Mans Series und fuhren ebenfalls im Intercontinental Le Mans Cup und beim 24-Stunden-Rennen von Le Mans. Im Winter 2011/2012 fuhr Prost erneut in der Trophée Andros, dieses Mal jedoch in der Benzinerkategorie.
2012 starteten Prost und Jani mit ihrem langjährigen Team Rebellion Racing in der neuen FIA-Langstrecken-Weltmeisterschaft WEC und landeten in Le Mans auf dem dritten WM- und vierten Gesamtrang. Außerdem durfte Prost für Lotus an Formel-1-Testfahrten teilnehmen. 2013 blieb Prost bei Rebellion Racing in der WEC und fuhr zusätzlich mit Nick Heidfeld und Neel Jani bei zwei ALMS-Rennen. Bei Lotus war Prost mittlerweile offizieller Test- und Ersatzfahrer.
2014 fährt der Franzose weiter für Rebellion in der WEC und startet darüber hinaus in der neugegründeten FIA-Formel-E-Meisterschaft.
Nicolas Prost lebt seiner Ehefrau, der Designerin Delphine Frey, in Féchy.
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